Можно ли представить число $11^{2018}$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?

   Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 368]      

Пусть натуральные числа m₁, m₂, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x₁, x₂, ..., x_n пробегают полные системы вычетов по модулям m₁, m₂, ..., m_n соответственно, то число  x = x₁m₂...m_n + m₁x₂m₃...m_n + ... + m₁m₂...m_n–1x_n  пробегает полную систему вычетов по модулю m₁m₂...m_n. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).

Прислать комментарий

Решение

При каких натуральных n для каждого целого  k ≥ n  найдётся кратное n число с суммой цифр k?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли представить число $11^{2018}$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые $N$ из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в конце кубика не зависит от места, с которого стартовал робот. Назовём $N$ удачным, если при любом выборе $N$ кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные $N$.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 125?
Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 368]