Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 233]

Задача 98344

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Кулаков А.

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60588

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите равенства
а) $\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt5}{2}}$ - $\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt5}{2}}$ = 1;
б) $\sqrt[5]{\dfrac{11+5\sqrt5}{2}}$ + $\sqrt[9]{\dfrac{76-34\sqrt5}{2}}$ = 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66561

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Деление с остатком. Арифметика остатков	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Митрофанов И.В.

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

Прислать комментарий Решение

Задача 109652

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

Задача 116463

Темы:	[	Арифметика. Устный счет и т.п.	]
	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Геометрическая прогрессия	]

Сложность: 2+
Классы: 5,6

Костя посадил вдоль дорожки некоторое количество луковиц тюльпанов. Потом пришла Таня и между каждой парой соседних посаженных луковиц посадила новую луковицу. Потом пришла Инна и между каждой парой соседних луковиц, посаженных до неё, посадила новую луковицу. Потом пришёл Дима и сделал то же самое. Все посаженные луковицы взошли и расцвело 113 тюльпанов. Сколько луковиц посадил Костя?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 233]