Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 328]

Задача 60578

[Формула Бине]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

F_n = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$ ,

где $\varphi$ = ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $\widehat{\varphi}$ = ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60909

Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что каждое целое число A представимо в виде

A = a₀ + 2a₁ + 2²a₂ +...+ 2ⁿa_n,

где каждое из чисел a_k = 0, 1 или -1 и a_ka_{k + 1} = 0 для всех 0 $\leqslant$ k $\leqslant$ n - 1, причем такое представление единственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61475

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $\beta$ , что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 67006

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?

Прислать комментарий Решение

Задача 67317

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Смирнова Л.

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 328]