Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 368]
|
[Числа-автоморфы]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a1, a2, a3, ..., что для любого натурального n квадрат числа anan–1...a2a1 оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ a1 = 1 и 0 = a2 = a3 = ... мы исключаем.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Доказать, что 4m − 4n делится на 3k+1 тогда и только тогда, когда m − n делится на 3k.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа a1, a2, ..., an, что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an делится на 2n – 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Сколько существует натуральных чисел x, меньших 10000, для которых 2x – x² делится на 7?
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 368]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Деление с остатком. Арифметика остатков
>>
Арифметика остатков (прочее)
Решение 
