Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73641

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73562

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Если сумма дробей     равна 0, то сумма дробей     тоже равна 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61270

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Кубические многочлены ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109759

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  P² + Q² = R².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ] [ Производная в точке ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями