Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 288]

Задача 107782

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107860

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Канель-Белов А.Я., Анисов С.С.

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109742

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109870

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Раскраски	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Дужин С.В.

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73675

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Обратный ход	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 288]