Версия для печати
Убрать все задачи

---

Плоскость, проходящая через середины рёбер AB и CD треугольной пирамиды ABCD делит ребро AD в отношении 3:1, считая от вершины A . В каком отношении эта плоскость делит ребро BC ?

   Решение

---

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

---

Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что

(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).

   Решение

---

Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (n2).

   Решение

---

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

   Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111920

Темы:   [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110198

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98552

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Процессы и операции ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями