Каталог по темам

Задачи

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1547]

Задача 66241

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66946

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73729

Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Целочисленные решетки	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Кириллов А.А.

Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73871

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин С.В.

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 108117

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Жгун В.С.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и D соответственно. Отрезок DE пересекает стороны AB и BC в точках F и G . Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Докажите, что четырёхугольник BFIG – ромб.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1547]