Каталог по темам

Задачи

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 411]

Задача 76447

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78014

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Функция Мебиуса	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дано число H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78682

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что aⁿ – bⁿ делится на n (a, b, n – натуральные числа, a ≠ b). Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78828

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79343

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 411]