Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.

   Решение

---

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 126]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35758

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета.
Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65387

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Шахматная раскраска ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78592

Тема:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78615

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Покрытия ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98517

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 126]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями