Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 411]

Задача 78594

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Иррациональные неравенства	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$

Найти $a_{1000}$.

Примечание. $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

Прислать комментарий Решение

Задача 78597

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Иррациональные неравенства	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дано:

a₁ = 1966, a_k = $\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right]$ .

Найти a₁₉₆₆.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105068

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Буфетов А.И., Канель-Белов А.Я.

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Прислать комментарий Решение

Задача 111872

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁=1 , b₁=2 , a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5 .

Прислать комментарий Решение

Задача 107998

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Ященко И.В., Гусейн-Заде С.М.

В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
а) не более 460 камней;
б) не более 461 камня?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 411]