Каталог по темам

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]

Задача 73735

Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79258

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Правило произведения	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Гуревич Г.А.

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются похожими, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79344

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109189

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ландо С.К., Шаповалов А.В.

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 111817

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Берлов С.Л., Мурашкин М.В.

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]