Каталог по темам

Задачи

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 288]

Задача 66168

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Фадин М., Коваленко К.

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98625

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Правило произведения	]
	[	Инварианты	]
	[	Линейная и полилинейная алгебра	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Токарев С.И.

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105177

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Инварианты	]
	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116422

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64358

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Фон-дер-Флаас Д.

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 288]