Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 288]
На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз).
Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально –
это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит.
Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины A вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.
В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?
Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 288]
Фильтр
