Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]

Задача 61336

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$ ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 61465

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите, что уравнение (x + y)⁴ + (z + t)⁴ = 2 + не имеет решений в рациональных числах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61539

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$ $\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i² = $\displaystyle \sqrt{-1}$ ^. $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108970

Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Модуль числа (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что выражение

+
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61463

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа 1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )¹ = 1 + = + , (1 + )² = 3 + 2 = + , (1 + )³ = 7 + 5 = + , (1 + )⁴ = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа a_n и b_n при помощи равенства (1 + )ⁿ = a_n + b_n, (n ≥ 0).
а) Выразите через a_n и b_n число (1 – )ⁿ.
б) Докажите равенство
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {a_n} и {b_n}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {a_n} и {b_n}.
д) Найдите связь между числами a_n, b_n и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]