Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67305

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10,11

Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61478

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + )ⁿ] n(mod 2).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73789

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Теоремы Тейлора и приближения функций ] [ Иррациональные неравенства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в)* 200 знаков после запятой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78834

Тема:   [ Квадратные корни (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

(где n — натуральное число)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73620

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Индукция (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма     не равна нулю. Докажите это.