Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 418]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79321

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разрезания на параллелограммы ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79401

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79437

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109619

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109687

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 418]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями