Каталог по темам

Задачи

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 590]

Задача 98252

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98263

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98296

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Бугаенко В.О., Егоров А.А.

Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98440

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Злобин С.А.

Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых числа x³ + y и x + y³ делятся на x² + y².

Прислать комментарий

Решение

Задача 98455

Темы:	[	Неравенства для площади треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Черепанов Е.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 590]