ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Индукция
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что при повороте на угол $ \alpha$ с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

(x cos$\displaystyle \alpha$ - y sin$\displaystyle \alpha$, x sin$\displaystyle \alpha$ + y cos$\displaystyle \alpha$).


Вниз   Решение

Площадь трапеции, высота которой вчетверо меньше разности оснований, равна 17. Найдите произведение средней линии трапеции и отрезка, соединяющего середины её диагоналей.

ВверхВниз   Решение

На конференции присутствуют 50 учёных, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции.
Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.

ВверхВниз   Решение

Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, причём  BM = AB.
Найдите разность углов BAM и CAM, если  ∠C = 25°.

ВверхВниз   Решение

Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса 8.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 412]      

  с решениями  

Задача 109727

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

На доску последовательно выписываются числа  a1 = 1,  a2, a3, ... по следующим правилам: an+1 = an – 2,  если число  an – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  an+1 = an + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60578

 [Формула Бине]
Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

Fn = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$,

где $ \varphi$ = $ {\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $ \widehat{\varphi}$ = $ {\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60909

Темы:   [ Системы счисления (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что каждое целое число A представимо в виде

A = a0 + 2a1 + 22a2 +...+ 2nan,

где каждое из чисел ak = 0, 1 или -1 и akak + 1 = 0 для всех 0 $ \leqslant$ k $ \leqslant$ n - 1, причем такое представление единственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61475

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 67006

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 412]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .