Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 52]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).
На клетке, помеченной звездочкой, стоит
кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Коля и Петя делят 2
n + 1 орехов,
n
2, причём каждый хочет получать
возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три
этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного
ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние
части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для
него.
|
[Игра "Ним"]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из
них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое)
количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто
взял последний камень.
Для анализа игры каждому набору кучек камней
m1,
m2, ...,
ml поставим в соответствие его ним сумму (
5.1
).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой
ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой
n
0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно
сделать ход в позицию с ним-суммой
n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4
и 5 камней?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх
красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а
второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 52]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Теория алгоритмов
>>
Теория игр
>>
Выигрышные и проигрышные позиции
