ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Геометрические неравенства >> Неравенство треугольника >> Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Богданов И.И.

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Вниз   Решение

Выпуклый многогранник KLMNFE имеет пять граней: KLE , MNF , KNFE , LMFE и KLMN . Точки A и B расположены соответственно на рёбрах KN и LM так, что отрезок AB делит площадь параллелограмма KLMN пополам. Точка D является серединой ребра EF и вершиной пирамиды DKLMN , объём которой равен 5. Найдите объём многогранника KLMNFE , если известно, что объём пирамиды EFAB равен 8.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если x1 , x2 , x3 , x4 – расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а h1 , h2 , h3 , h3 – соответствующие высоты тетраэдра, то

++ + = 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 57316

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) $\displaystyle \leq$ abc.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57317

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 5+
Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) $\displaystyle \geq$ 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107790

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Докажите, что

| x| + | y| + | z|$\displaystyle \le$| x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,

где x, y, z — действительные числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 60334

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64488

Темы:   [ Иррациональные неравенства ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Числа x, y, z и t лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   < 4.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .