Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причем точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные AP и AQ к окружности S. Докажите, что B — середина отрезка PQ.

   Решение

Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить разрешается только вверх или влево (на любое количество клеток). Кто не может сделать хода, тот проиграл. Кили ходит первым. Кто выиграет при правильной игре?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

Прислать комментарий

Решение

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий

Решение

Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$. Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.

Прислать комментарий

Решение

Hа плоскости даны две окружности C₁ и C₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 2R и R соответственно (O₁O₂ > 3R). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на C₁, а две другие — на C₂.

Прислать комментарий

Решение

В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок).

Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]