Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 148]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что
$$
\frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}.
$$
Около прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = 5 и
BC = 12 описана окружность. Точки E и G — середины меньших
дуг AC и BC этой окружности, точка F — середина дуги AB,
не содержащей точки C. Найдите площадь четырёхугольника AEGF.
|
|
Сложность: 4- Классы: 10,11
|
Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого
звена равна . Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
В прямоугольник
ABCD вписаны два различных
прямоугольника, имеющих общую вершину
K на
стороне
AB . Докажите, что сумма их площадей
равна площади прямоугольника
ABCD
На сторонах произвольного остроугольного треугольника
ABC как на диаметрах построены окружности. При этом
образуется три "внешних" криволинейных треугольника и
один "внутренний" (см. рис.1). Докажите, что если из
суммы площадей "внешних" треугольников вычесть площадь
"внутреннего", то получится удвоенная площадь треугольника
ABC .
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 148]