Задача 108148
|
|
 |
Условие
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1 . Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.Решение
Пусть точки Q и B1 лежат по разные стороны от прямой BK , а точки P и B1 – по разные стороны от прямой BM (остальные случаи рассматриваются аналогично).
Поскольку при гомотетии с центром в точке N , переводящей внутреннюю окружность во внешнюю, касательная BC к внутренней окружности переходит в параллельную BC касательную B'C' к внешней окружности, то точка касания B'C' с внешней окружностью есть середина дуги BC внешней окружности, не содержащей точку N , т.е. точка P . Значит, точки N , M и P лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки N , K и Q также лежат на одной прямой. Четырёхугольники BPNQ , BQKB1 и BPMB1 – вписанные, поэтому
Тогда
т.е. точка B1 лежит на отрезке KM . Поскольку BK и BM – касательные, проведённые из точки B к внутренней окружности, то треугольник BKM – равнобедренный, поэтому
Значит, противоположные углы четырёхугольника BPB1Q попарно равны. Следовательно, BPB1Q – параллелограмм.
