Задача 109604

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Решение

Пусть A_nA₁ – самая короткая (одна из них) сторона многоугольника A₁A₂.. A_n с равными углами. Тогда A_nA₁ A₁A₂ и A_nA₁ A_n-1A_n . Предположим, что многоугольник не имеет других, кроме A_nA₁ сторон, не превосходящих соседних с ними. Пусть A_mA_m+1 – самая длинная (одна из них) сторона многоугольника. Тогда A_nA₁<A₁A₂<A₂A₃<..<A_mA_m+1 , так как если A_k-1A_k A_kA_k+1 , то наименьшая среди сторон A_kA_k+1 , A_m-1A_m не длиннее соседних с ней. Аналогично A_nA₁<A_n-1A_n<..<A_m+1A_m+2<A_mA_m+1 . Отложим векторы , i=1 , n от одной точки: = 1041. Тогда +...+=+...+= , и, следовательно, сумма проекций , i=1 , n , этих векторов на любую прямую l₁ равна . Возьмем в качестве l₁ прямую, перпендикулярную биссектрисе l угла B₁OB_m . Из условия следует, что B₁OB₂=..= B_m-1OB_m= , поэтому пары лучей [OB₁) и [OB_m) , [OB₂) и [OB_m-1) , симметричны относительно прямой l . Для нечетного m , m=2s-1 , без пары останется луч [OB_s) , лежащий на l . Соответственно, векторы i=1 , m , разобьются на пары противоположно направленных векторов, причем OC₁<OC_m , OC₂<OC_m-1 , (если m=2s+1 , то = ). Таким образом, +...+=₁ , где ₁ – направленный вверх вектор. Аналогично, ++...+=₂ , где ₂ сонаправлен с ₁ и хотя бы один из векторов ₁ и ₂ ненулевой. Но тогда +...+=₁+₂ . Противоречие, следовательно найдется отличная от A_nA₁ сторона многоугольника, не превосходящая соседние с ней стороны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	95.5.10.4
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.5.11.4