|
|
 |
Условие
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.
Решение
Для удобства вместо боковой поверхности параллелепипеда a×b×c рассмотрим боковую поверхность цилиндра высоты c и длиной окружности основания 2(a + b), разбитую на единичные "квадраты" линиями, параллельными окружностям оснований и образующими.
Проведём плоскость через ось симметрии цилиндра и через центры единичных квадратов в каком-нибудь столбце S ширины 1 и высоты c на поверхности цилиндра. Докажем, что никакая оклейка прямоугольниками, состоящими из чётного числа единичных квадратов, удовлетворяющая условию, не симметрична относительно этой плоскости. Действительно, в противном случае столбец S оказался бы покрыт прямоугольниками нечётной ширины. Площадь (а, значит, и высота) каждого из этих прямоугольников чётна, что противоречит нечётности высоты столбца S.
Итак, все способы оклейки можно разбить на пары переходящих друг в друга оклеек (при симметрии относительно указанной плоскости), значит, их число чётно.
