Задача 109709

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Пятиугольники ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

Решение

Будем говорить "в" вместо "внутри или на границе".

Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник минимальной площади S , для которого не выполняется утверждение задачи (так как площадь любого пятиугольника с вершинами в целых точках – число полуцелое, то такой найдется).

Покажем, что все целые точки в треугольнике AC₁D₁ , кроме A , лежат на C₁D₁ . В самом деле, если в нем есть другая целая точка K , то площадь выпуклого пятиугольника KBCDE меньше S , а внутренний пятиугольник в KBCDE лежит в пятиугольнике A₁B₁C₁D₁E₁ , что, очевидно, невозможно.

Через ρ (M,PQ) будем обозначать расстояние от точки M до прямой PQ .
Выберем из треугольников ABC , BCD , CDE , DEA и EAB треугольник наименьшей площади. Пусть это Δ ABC . Тогда ρ (A,BC)ρ (D,BC) и ρ (C,AB)ρ (E,AB) .

Рассмотрим точку O такую, что ABCO – параллелограмм (очевидно, эта точка целая).
Тогда ρ (O,BC)=ρ (A,BC) и ρ (O,AB)=ρ (C,AB)ρ (B₁,AB) , поэтому точка O лежит в треугольнике AB₁C . Тогда из доказанного в предыдущем абзаце следует, что она лежит в пятиугольнике A₁B₁C₁D₁E₁ , чего не может быть. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.5.11.3