Задача 109737

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Пересекающиеся сферы ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

Решение

Рис. 1
Пусть σ – сфера из условия задачи, σ1 – сфера, описанная около тетраэдра SA1B1C1 . Эти сферы пересекаются по окружности γ , описанной около треугольника A1B1C1 (см. рис. 1) .
Выберем на γ произвольно точку K1 , пусть K – вторая точка пересечения луча SK1 со сферой σ . Рассмотрим сечение сфер σ и σ1 плоскостью α=SAK .
Пусть l – касательная к сечению сферы σ1 плоскостью α , проведенная в точке S (см. рис. 2) . Тогда 1= 2 и 2=π- A1K1K= 3 , следовательно 1= 3 и, значит, AK|| l . Поэтому если β – плоскость, касающаяся σ1 в точке S , то AK||β . Поэтому лучи, проведенные из точки S и пересекающие окружность γ , вторично пересекают сферу σ в точках, лежащих в одной плоскости τ . Точки A , B и C лежат в этой плоскости, следовательно τ проходит через точку O1 – центр сферы σ .
          
Рис. 2                             Рис. 3
Теперь рассмотрим множество плоскостей, касающихся σ в точках, принадлежащих γ . Они касаются некоторого конуса с вершиной в точке O (и образующими OA1 , OB1 , OC1 ). Проведем плоскость через точки O , O1 и S . В сечении получатся две пересекающиеся окружности (см. рис. 3) , при этом
SP1P= SQ1Q=90^o,
так как O1 PQ . Но OP1 и OQ1 – касательные к окружности с центром O1 , поэтому
SPP1= SQQ1= OQ1P1= OP1Q,
т.е. Δ Q1OP1 – равнобедренный и Q1OP1=180^o-2· OQ1P1= 2(90^o- SPP1)= 2· Q1SP1 . Отсюда и из равенства OP1=OQ1 следует, что O – центр окружности, описанной около Δ SP1Q1 . Но тогда OS=OP1=OA1=OB1=OC1 , т.е. O – центр сферы σ1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.5.11.8