Задача 109777

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Формула Герона ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Решение

Можно считать, что в данном уравнении  f(x) = 0  многочлен  f(x) приведённый. Из теоремы Виета следует, что если a, b, c – длины сторон треугольника, то числа  2p = a + b + c = A,  ab + bc + ba = B,  abc = C  рациональны. По формуле Герона  S² =  pf(p},  то есть S² тоже рационально. Из равенств  h_a = ^2S/_a,  h_b = ^2S/_b,  h_c = ^2S/_c  следует, что h_a, h_b, h_c – корни уравнения     имеющего рациональные коэффициенты в силу тождеств  

   

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	03.5.11.5