Задача 109780

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Решение

Возьмем четыре различных числа a,b,c,d M . Из рациональности чисел d2+ab и d2+bc следует рациональность bc-ab , откуда a2+ab=a2+bc-(bc-ab) . Аналогично, b2+ab . Поэтому для произвольных различных a,b M число q== . Тогда a=qb a2+ab=b2(q2+q)=l , b== , m,k . Значит, число b , где n=mk , рационально. Тогда c=· b для любого c M .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	03.5.10.1