|
|
 |
Условие
Последовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
Решение
Пусть в записи числа 1/n есть предпериод A из m цифр и период B из k цифр. Тогда 10m(10k – 1) кратно n. Наоборот, пусть m, k – наименьшие числа, при которых 10m(10k – 1) кратно n, то есть m есть максимальная из степеней двойки и пятерки, на которые делится n, а k – минимальное число, для которого
10k – 1 кратно и пусть C = 1/n 10m(10k – 1). Положим
Тогда B < 10k – 1, A < 10m, и дробь 1/n имеет предпериод A (с нулями, дополняющими его до m цифр) и период B (аналогично). Из условия следует, что p ≠ 2, p ≠ 5 и p не может быть числом, в десятичной записи которого присутствуют только нули и единицы (сумма цифр такого числа должна равняться 300, и, значит, оно не простое).
Докажем, что последовательность {an} – периодическая с периодом 2. Период дроби 1/p равен 1/p (10n – 1), где n – наименьшее натуральное число, для которого 10n – 1 кратно p. Таким образом, a2 = 2/p (10n – 1). Поскольку a2 чётно, но не делится ни на 22, ни на 5, период обыкновенной дроби 1/a2 будет равен где k – наименьшее натуральное число, для которого 10k+1 – 10 кратно a2 (в обозначениях первого абзаца A = 0, так как a2 > 10 (a2 кратно 18), поэтому B = C). Следовательно, k является наименьшим натуральным числом, для которого (10k – 1)p кратно 10n – 1.
Пусть n = kq + r, где 0 < r < k. Тогда 10kq(10r – 1)p = (10n – 1)p – (10kq – 1)p кратно 10n – 1. Стало быть, (10r – 1)p кратно 10n – 1, что невозможно ввиду выбора k. Поэтому n = km и (10k – 1)p кратно 10mk – 1. Следовательно, p кратно 10k(m–1) + 10k(m–2) + ... + 10k + 1. Но p – простое число, следовательно, если m ≠ 1, то p = 10k(m–1) + 10k(m–2) + ... + 10k + 1, что невозможно, ибо p не может быть числом из нулей и единиц.
Итак, k = n, а значит, Осталось заметить, что периоды чисел 1/p и 1/10p равны.
Ответ
a2003 = 10p.
