Задача 109839

Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

Решение

  Домножим наши две дроби a и b на число  10^T – 1.  Получатся два новых рациональных числа  A = (10^T – 1)a  и  B = (10^T – 1)b.  Числа
A + B = (10^T – 1)(a + b)  и  AB = (10^T – 1)²ab  целые, так как чисто периодическая дробь с периодом T после домножения на  10^T – 1  становится целым числом. Но два рациональных числа, сумма и произведение которых целые, являются корнями приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами, то есть сами являются целыми числами (см. задачу 61013).
  Значит, a и b могут быть записаны в виде обыкновенных дробей со знаменателем  10^T – 1,  откуда и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.5.11.2