|
|
 |
Условие
Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.
Решение
Из условия следует, что наш многочлен P(x) имеет ненулевую степень. Можно считать старший коэффициент P положительным (иначе сменим знак многочлена). Если P имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по модулю x он возрастает, и, следовательно, только конечное число значений может принимать более чем в одной целой точке. Поэтому степень P чётна.
Значит, при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x – убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке,
он принимает ровно дважды. Упорядочим эти значения: a1 < a2 < ... и обозначим xk – больший, а yk – меньший прообраз ak. Таким образом, P(xk) = P(yk) = ak.
Рассмотрим два старших коэффициента P: P(x) = axn + bxn–1 + ... . Тогда
P(c – x) = a(c – x)n + b(c – x)n–1 + ... = axn – ancxn–1 – bxn–1 + ... = axn + (– anc – b)xn–1 + ... . Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов P(x) и
P(c – x) совпадают; а для коэффициентов при xn–1 существует единственное значение c: c0 = – 2b/an, при котором они совпадают.
Если c > c0, то P(x) – P(c – x) – многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны. Поэтому при достаточно больших k xk + yk < c0 + 0,1 (иначе P(xk) > P(c0 + 0,1 – xk) > P(yk)).
Если, наоборот, c < c0, то P(x) – P(c – x) – многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны. Поэтому при достаточно больших k xk + yk > c0 – 0,1. Но xk + yk – целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: xk + yk = c, где c – целое.
Но тогда многочлены P(x) и P(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак P(x) – P(c – x) совпадает со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них P(c – xk) = P(yk) = P(xk)).
Итак, P(x) = P(c – x) при всех действительных x (то есть график y = P(x) имеет вертикальную ось симметрии x = c/2). Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке, – это P(c/2), да и то, если только c/2 – целое.
