|
|
 |
Условие
Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.
Решение
Пусть исходные трёхчлены имеют вид ax² + bx + c и px² + qx + r. Так как после перестановки a и p полученные трёхчлены не имеют корней, то
b² < 4pc и q² < 4ar. Левые (а значит, и правые) части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно перемножить: b²q² < 16acpr. Значит, числа ac и pr отличны от нуля и имеют одинаковый знак.
С другой стороны, исходные трёхчлены корни имеют, то есть b ≥ 4ac и q ≥ 4pr. Если оба числа в правых частях положительны, то b²q² ≥ 16acpr, что противоречит полученному выше. Значит, ac < 0 и pr < 0; поэтому q² ≥ 0 > 4ac и b² ≥ 0 > 4pr. Это и означает, что трёхчлены ax² + bx + c и px² + bx + r имеют корни.
