Задача 111797

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Богданов И.И., Макаров И.В.

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение

Заметим, что для любой точки P , лежащей на меньшей дуге A'B' окружности σ , выполнено неравенство APB'+ BPA' A'PB'<180^o (см. рис.) , поэтому точки K и L не лежат на этой дуге. Тогда из условия получаем AKB+ A'KB'= ALB+ A'LB'=180^o , и AKB= ALB=180^o- A'IB'/2=180^o-(180^o- C)/2=90^o+ C/2 (здесь I – центр вписанной окружности). Заметим, что AIB=180^o-( A+ B)/2=90^o+ C/2 , то есть точки A , B , K , L , I лежат на одной окружности Σ (см. рис.). Точки A , B' , I , C' лежат на одной окружности S , так как AB'I= AC'I=90^o . Радикальные оси окружностей σ , Σ и S пересекаются в одной точке X ; эти радикальные оси суть прямые KL , B'C' и AI . Так как точки B' и C' симметричны относительно AI , точка X является серединой B'C' . Аналогично получаем, что KL пересекает A'C' в ее середине Y . Но средняя линия XY треугольника A'B'C' , очевидно, равноудалена от A' , B' и C' , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.4.11.4