Задача 111807

Тема:    [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Богданов И.И.

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

Решение

Пусть a , b , c – три числа, стоящие подряд. Если b – красное, то b=a+c , а если b – синее, то 2b=a+c . Запишем такие равенства для всех троек последовательных чисел и сложим их. В правой части получится удвоенная сумма всех чисел, а в левой– сумма красных плюс удвоенная сумма синих. Тогда, если R – сумма всех красных чисел, а B – сумма всех синих, то мы получим равенство R+2B=2(R+B) , откуда R=0 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.4.10.6