|
|
 |
Условие
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Решение
Предположим, что выписать числа требуемым образом удалось. Пусть Δ – отрезок ленты между числами 0 и 1 (включая 0 и 1). Пусть M – максимальный модуль числа, попавшего в этот отрезок. Тогда каждое число x, большее M по модулю, расположено либо справа, либо слева от Δ. Пусть некоторое число x > M расположено по какую-то сторону от Δ, для определенности, справа. Среднее арифметическое чисел x и –x равно 0, значит, число –x также расположено справа от Δ. Среднее арифметическое чисел –x и x + 2 равно 1, значит, x + 2 также расположено справа от Δ. Рассуждая так и далее, получаем, что числа x, x + 2, x + 4 и все последующие числа той же чётности расположены справа от Δ. Теперь среди всех чисел, больших M и расположенных справа от Δ, выберем число a, находящееся левее всех остальных. Числа a + 2, a + 4, a + 6 находятся справа от Δ и, следовательно, правее a. Число a + 4 выписано не правее a + 2, так как a + 2 – среднее арифметическое a и a + 4. Итак, a + 4 расположено между a и a + 2. Аналогично число a + 8 расположено между a и a + 4, a + 16 расположено между a и a + 8 и т.д. Таким образом, между a и a + 2 должно разместиться бесконечное множество чисел a + 4, a + 8, ..., a + 2n, ... . Противоречие.
Ответ
Не могло.
