|
|
 |
Условие
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
Решение
Предположим, что такое возможно. Пусть a – простое число, 77 < a ≤ 150, а b – число, стоящее в соседней по стороне клетке. Если уравнение
x² – bx + a = 0 имеет два целых корня, то их произведение равно a, а сумма равна b > 0. Значит, эти корни равны 1 и a, и b = 1 + a. Если же уравнение x² – ax + b = 0 имеет два целых корня x1 и x2, то x1 + x2 = a, x1x2 = b. Пусть x2 ≥ x1 ≥ 2. Так как функция t(a – t) возрастает при t ≤ a/2, то b = x1(a – x1) ≥ 2(a – 2) > 150, что невозможно. Значит, и в этом случае один из корней равен 1, и b = 1·(a – 1) = a – 1. Итак, для таких простых значений a возможны лишь два варианта числа, стоящего в соседней клетке: b = a – 1 и b = a + 1.
Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. У всех клеток с такими простыми числами только две соседних, значит, все они – угловые. Однако между 77 и 150 находится более четырёх простых чисел (79, 83, 89, 97, 101, ...). Противоречие.
Второй способ. Простые числа 101 и 103 должны стоять в углах, и их соседями должны являться 100, 102 и 102, 104. Но клетка с числом 102 не может быть соседней с двумя угловыми. Противоречие.
Ответ
Не может.
