Задача 111874

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Полянский А.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B₀ – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A₁C₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB₀ и PQ параллельны.

Решение

  Пусть точка O₁ – середина отрезка BH. Точки A₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BH, то есть с центром в точке O₁.

  Как известно, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны. BQ и BP, а также BO₁ и BO – пары соответствующих отрезков в этих треугольниках, значит,
BO₁ : BO = BQ : BP,  следовательно,  OO₁ || PQ.
  Пусть B' – точка описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная точке B; тогда O – середина отрезка BB', а
∠ACB' = ∠BCB' – ∠C = 90° – ∠C = ∠A₁AC .  Следовательно,  AA₁ || CB'.
  Аналогично  CC₁ || AB'.  Таким образом, AHCB' – параллелограмм, B₀ – его центр и, значит, лежит на диагонали HB'. В треугольнике BHB' отрезок OO₁ является средней линией, поэтому  OO₁ || HB₀.  Итак,  HB₀ || OO₁ || PQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.5.10.6