Задача 116587

Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Голованов А.С.

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.

Решение 1

Возьмём любые пять из данных чисел:  a, b, c, d, e.  Если  abc > de,  то утверждение верно. Если же  de > abc,  возьмём еще два числа f и g. Пусть, скажем,  f > g.  Тогда  def > abcg;  значит, и в этом случае утверждение верно.

Решение 2

Упорядочим данные числа по убыванию:  a₁ > a₂ > ... > a₁₀.  Если  a₁ ≥ 1,  то  a₁a₂a₃ > a₄a₅.  Иначе  a₇ < 1,  и, значит,  a₁a₂a₃ > a₄a₅a₆a₇.

Замечания

Из решения 2 видно, что a₁a₂a₃ больше либо произведения любых двух из оставшихся чисел, либо произведения любых четырёх из оставшихся.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.1