ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116602
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что  AB·CD = AD·BC.  Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.


Решение 1

  Обозначим через  f(ABCD) сумму четырёх углов в условии. Заметим, что если четырёхугольник ABCD вписан, то утверждение верно. Действительно, тогда  f(ABCD) = (∠BAC + ∠CAD) + (∠DCA + ∠ACB) = ∠BAD + ∠BCD = 180°.
  Пусть теперь четырёхугольник не вписан. Тогда описанная окружность треугольника BCD пересекает прямую AC вторично в точке A', отличной от A.


  Заметим, что  f(A'BCD) – f(ABCD) = (∠BA'C – ∠BAC) + (∠A'DB – ∠ADB) = ±(∠ABA' – ∠ADA'),  где знак перед последней скобкой зависит от порядка точек A, A' на прямой AC. Поскольку  f(A'BCD) = 180°,  достаточно доказать, что  ∠ABA' = ∠ADA'.
  Применяя теорему синусов к треугольникам ABA' и ADA', получаем     (отношение длины хорды к синусу опирающегося на нее угла равно диаметру окружности).
  Итак,  sin∠ABA' = sin∠ADA',  то есть либо углы ABA' и ADA' равны, либо их сумма равна 180°. Второй случай невозможен: сумма углов невыпуклого четырёхугольника ABA'D равна 360°, поэтому ∠ABA' + ∠ADA' < 180°.


Решение 2

  Нам известно, что  AB : BC = AD : DC.  Если эти отношения равны 1, то треугольники ABC и ADC равнобедренные, и четырёхугольник ABCD симметричен относительно прямой BD. Значит,
BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = ∠BAC + ∠ABD + ∠DAC + ∠ADB = ∠ABD + ∠ADB + ∠DAB = 180°.
  Пусть, для определённости, AB/BC > 1.  Проведём биссектрису BK и внешнюю биссектрису BL треугольника ABC. Тогда
AK : KC = AL : LC = AB : BC = AD : DC;  значит, DK и DL – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ADC.  ∠KBL = ∠KDL = 90°,  следовательно, четырёхугольник BKDL вписан в окружность с центром в середине O отрезка KL.

  Используя равнобедренность треугольников BOK и DOK получаем
BAC = ∠CKB – ∠ABK = ∠OBK – ∠CBK = ∠OBC,
DCA = ∠AKD – ∠KDC = 180° – ∠ODK – ∠KDA = 180° – ∠ODA.
  Итак, сумма всех четырёх углов в условии равна  ∠OBD + 180° – ∠ODB = 180°,  поскольку треугольник BOD равнобедренный.

Замечания

Построенная в решении 2 окружность – это окружность Аполлония (см. задачу 57142).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .