ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116602
УсловиеВыпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB·CD = AD·BC. Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°. Решение 1 Обозначим через f(ABCD) сумму четырёх углов в условии. Заметим, что если четырёхугольник ABCD вписан, то утверждение верно. Действительно, тогда f(ABCD) = (∠BAC + ∠CAD) + (∠DCA + ∠ACB) = ∠BAD + ∠BCD = 180°. Заметим, что f(A'BCD) – f(ABCD) = (∠BA'C – ∠BAC) + (∠A'DB – ∠ADB) = ±(∠ABA' – ∠ADA'), где знак перед последней скобкой зависит от порядка точек A, A' на прямой AC. Поскольку f(A'BCD) = 180°, достаточно доказать, что ∠ABA' = ∠ADA'. Применяя теорему синусов к треугольникам ABA' и ADA', получаем (отношение длины хорды к синусу опирающегося на нее угла равно диаметру окружности). Итак, sin∠ABA' = sin∠ADA', то есть либо углы ABA' и ADA' равны, либо их сумма равна 180°. Второй случай невозможен: сумма углов невыпуклого четырёхугольника ABA'D равна 360°, поэтому ∠ABA' + ∠ADA' < 180°. Решение 2 Нам известно, что AB : BC = AD : DC. Если эти отношения равны 1, то треугольники ABC и ADC равнобедренные, и четырёхугольник ABCD симметричен относительно прямой BD. Значит, ∠BAC = ∠CKB – ∠ABK = ∠OBK – ∠CBK = ∠OBC, ∠DCA = ∠AKD – ∠KDC = 180° – ∠ODK – ∠KDA = 180° – ∠ODA. Итак, сумма всех четырёх углов в условии равна ∠OBD + 180° – ∠ODB = 180°, поскольку треугольник BOD равнобедренный. ЗамечанияПостроенная в решении 2 окружность – это окружность Аполлония (см. задачу 57142). Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|