ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116641
УсловиеПериметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2. РешениеПоскольку отрезки BC и XY пересекаются, можно считать, что AB > AX и AC < AY. Пусть вневписанная окружность ω исходного треугольника касается стороны BC в точке R, а продолжений сторон AB и AC в точках P и Q соответственно (см. рис.). Как известно (см. задачу 55483), отрезки AP и AQ равны полупериметру треугольника ABC, то есть 2. Отсюда следует, что X и Y – середины этих отрезков. Значит, прямая XY – радикальная ось (см. задачу 61191) окружности ω и точки A. Поэтому AM = MR, и периметр треугольника ACM равен AC + CM + MR = AC + CR = AC + CQ = AQ = 2.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|