ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116641
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шмаров В.

Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что  AX = AY = 1.  Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.


Решение

  Поскольку отрезки BC и XY пересекаются, можно считать, что  AB > AX  и  AC < AY.  Пусть вневписанная окружность ω исходного треугольника касается стороны BC в точке R, а продолжений сторон AB и AC в точках P и Q соответственно (см. рис.).

  Как известно (см. задачу 55483), отрезки AP и AQ равны полупериметру треугольника ABC, то есть 2. Отсюда следует, что X и Y – середины этих отрезков. Значит, прямая XYрадикальная ось (см. задачу 61191) окружности ω и точки A. Поэтому  AM = MR,  и периметр треугольника ACM равен  AC + CM + MR = AC + CR = AC + CQ = AQ = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .