Задача 116952

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  r_x = r_z = r,  а  r_y > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Решение

  Обозначим вершины образовавшегося треугольника через A, B, C, как показано на рисунке, а центры окружностей ω_x, ω_y и ω_z через I_x, I_y и I_z.

  Первый способ. Пусть q'  – вторая общая внутренняя касательная к ω_y и ω_z, а t'  – вторая их общая внешняя касательная. Обозначим через A'  и B'  точки пересечения прямой t'  с q и t, а через M и N – точки пересечения прямой q'  с t и t'.

  Прямая p при симметрии относительно прямой I_yY переходит в q'  (если бы она перешла в q, то треугольник ABC был бы равнобедренным). С другой стороны, прямые q и q', а также t и t'  симметричны относительно линии центров I_yI_z. Значит,  ∠B'A'C = ∠NMB' = ∠BAC.  Кроме того, углы ACB и A'CB' равны как вертикальные. Итак, треугольники ABC и A'B'C подобны по двум углам.
  ω_y – их общая вневписанная окружность, касающаяся соответственных сторон AC и A'C; значит, коэффициент их подобия равен 1. Поэтому радиусы их вписанных окружностей также равны.

  Второй способ. Пусть ω₀ – вписанная окружность треугольника ABC и её радиус  r₀ = ^r/_k.  Обозначим через T точку касания ω₀ с прямой t.

  Обозначим  x = AT,  z = CT = AC – x.  Как известно,  AY = CT = z  (см. задачу 56658). Заметим, что  x ≠ z  (иначе треугольник ABC равнобедренный).
  Пусть I – центр ω₀. Треугольники ITA и I_xXA подобны, поэтому  .  Аналогично  ZC = kz.
  XA + AY = XY = ZY = ZC + CY;  значит,  kx + z = kz + x,  откуда  (kx – x) – (kz – z) = 0,  или  (k – 1)(x – z) = 0.  Следовательно,  k = 1,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.6