Задача 58446
|
|
 |
Условие
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.
Решение
Рассмотрим отдельно два случая.1. Точка P лежит вне S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) — прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть прямая, проходящая через точки касания S с касательными, проведенными через точку P, а для задачи б) — лежащая вне S часть этой прямой.
2. Точка P лежит внутри S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.
Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки P относительно S (см. задачу 30.19).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность |
| Тема | Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность |
| задача | |
| Номер | 30.038 |
