Задача 64343

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Заславский А.А., Протасов В.Ю.

Трапеция ABCD вписана в окружность w  (AD || BC).  Окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются оснований трапеции BC и AD в точках P и Q соответственно. Точки X и Y – середины дуг BC и AD окружности w, не содержащих точек A и B соответственно. Докажите, что прямые XP и YQ пересекаются на окружности w.

Решение 1

  Заметим, что X и Y – диаметрально противоположные точки, следовательно,  ∠XAY = ∠XBY = 90°.
  Пусть I и J – центры вписанных окружностей треугольников ABC и ABD соответственно. Тогда по "теореме о трилистнике" (см. задачу 53119)  XB = XI  и  YA = YJ.  Кроме того,  ∠BXI = ∠BXA = ∠BYA = ∠JYA.  Следовательно, равнобедренные треугольники XBI и YJA подобны, а их стороны, как показано выше, перпендикулярны.

  Следовательно, при поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, прямая JQ переходит в прямую BC, а прямая AQ – в прямую IP. Таким образом, P и Q – соответствующие точки этих треугольников, а значит, XP ⊥ YQ, что эквивалентно утверждению задачи.

Решение 2

  Нам потребуется следующее утверждение.
  Лемма Саваямы. На стороне AC треугольника ABC выбрали произвольную точку M. Окружность w касается описанной окружности треугольника ABC, отрезка MB в точке P, Q – точка касания окружности w и прямой AC. Тогда центр I вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой QP (рис. слева).
  Лемма верна и в случае, когда точка M лежит на прямой AC, а окружность w касается описанной окружности треугольника ABC внутренним образом и отрезка (а не прямой) AC (рис. в центре). Верна она и в предельном случае, когда прямая BM параллельна AC).

                       

  Рассмотрим окружность w₁, касающуюся прямых AD и BC и окружности w в точке Z (рис. справа). По лемме Саваямы для треугольника ABD и прямой BC, прямая, проходящая через точки касания окружности w₁ с прямыми AD и BC, содержит центр J окружности S, вписанной в треугольник ABD. Это значит, что окружности S и w₁ касаются в точке Q. Теперь из леммы Архимеда (см. задачу 56568) для окружностей w и w₁ и прямой AD следует, что прямая ZQ проходит через середину Y дуги AD, что и требовалось.

Решение 3

  Диаметр XY пересекает основания трапеции в их серединах U и V (см. рис.). Для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что
∠XPU + ∠YQV = 90°,  то есть подобие прямоугольных треугольников XUP и QVY. Это в свою очередь сводится к проверке равенства
XU : PU = QV : QY  или  XU·YV = PU·QV.

  Пусть  ∠BAC = 2α,  ∠ABD = 2β,  R – радиус описанной окружности. Тогда  XU = BX sin ∠XBU = 2R sin²α.  Аналогично  YV = 2R sin²β,  и
XU·YV = 4R² sin²α sin²β.
  Далее  ∠ACB = ∠CBD = ∠ADB = 90° – α – β,
PU = BU – BP = ½ BC – ½ (BC + AB – AC) = ½ (AC – AB) = R (sin (90° + β – α) – sin (90° – α – β) = R (cos (α – β) – cos (α + β)) = 2R sin α sin β.  Аналогично
QV = 2R sin α sin β,  и PU·QV = 4R² sin²α sin²β = XU·YV.

Замечания

Подробнее о лемме Саваямы см. статью В.Ю. Протасова "Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха", "Квант", 2008, №4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
	1
Класс	10-11 класс
задача
Номер	6