Задача 64345

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P. Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.

Решение

Пусть M – середина BC. Треугольник BPC равнобедренный, значит, его медиана PM является высотой. Поэтому четырёхугольник MCEP вписан в окружность с диаметром CP. Следовательно,  ∠MEP = ∠MCP = ∠BAC  и  ∠MEA + ∠BAC = (90° – ∠MEP) + ∠BAC = 90°,  откуда  ME ⊥ AB  (см. рис.). Аналогично  MD ⊥ AC.  Это и значит, что M – точка пересечения высот треугольника ADE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2