Задача 64359

Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Решение

  Пусть  P(x) = x¹⁰ + p₉x⁹ + ... + p₀  и  Q(x) = x¹⁰ + q₉x⁹ + ... + q₀.  По условию многочлен  P(x) – Q(x) = (p₉ – q₉)x⁹ + ... + (p₀ – q₀)  не имеет действительных корней. Значит, степень его чётна, то есть  p₉ = q₉.
  Заметим теперь, что  P(x + 1) = x¹⁰ + (p₉ + 10)x⁹ + ...  и  Q(x – 1) = x¹⁰ + (q₉ – 10)x⁹ + ....  Таким образом, многочлен  P(x + 1) – Q(x – 1) = 20x⁹ + ...  имеет девятую степень и, следовательно, имеет корень.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.1