|
|
 |
Условие
Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.
Решение
Выберем на Ω точку D так, что AD || BC, тогда точки A и D симметричны относительно серединного перпендикуляра к BC. Пусть H' – проекция точки D на BC, а K – середина BC. Из симметрии K также является серединой отрезка HH'; кроме того, HH' = D.
Пусть X – точка пересечения отрезков AK и DH. Тогда треугольники ADX и KHX подобны, откуда AX : KX = AD : KH = 2. Значит, X – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть X = M. Итак, точки A', H, M и D лежат на одной прямой.
Замечания
Тот факт, что точки H, M, D (а значит, и A') лежат на одной прямой, можно доказать и по-другому. Пусть ω – окружность девяти точек треугольника ABC. Как известно, она проходит через середины его сторон и точку H. При гомотетии с центром в точке M и коэффициентом –2 окружность ω переходит в Ω. Значит, точка H при этой гомотетии перейдёт в такую точку D описанной окружности, что AD || BC. Поэтому точки H, M и D лежат на одной прямой.
