ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 65251
УсловиеПусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби 1/n, 2/n, ..., n–1/n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность? РешениеПусть n = 2t·m, где t ≥ 0, а число m нечётно. Докажем, что число f(n) чётно ровно в двух случаях: либо n нечётно и m ≡ 1 (mod 4), либо же n чётно и m ≡ 3 (mod4 ). Первый способ. Рассмотрим произвольную дробь k/n. Если k делится на 2t+1, то числитель этой дроби после сокращения будет чётен, в противном случае он будет нечётен. Среди чисел 1, 2, ..., n – 1 есть ровно m–1/2 чисел, делящихся на 2t+1. Значит, в сумме f(n) имеется ровно n – 1 – m–1/2 нечётных слагаемых. Поэтому f(n) чётно тогда и только тогда, когда числа n – 1 и m–1/2 имеют одинаковую чётность, что и требовалось. Второй способ. Пусть n нечётно (то есть t = 0). Тогда числитель дроби k/n не меняет чётность после сокращения. Значит, количество нечётных числителей будет равно n–1/2, и число f(n) чётно ровно тогда, когда чётно число n–1/2, то есть при m ≡ 1 (mod 4). Осталось заметить, что числа n и 2015n имеют одну чётность; кроме того, при нечётном m числа m и 2015m дают разные остатки при делении на 4. Значит, числа f(n) и f(2015n) всегда имеют разную чётность. ОтветПри всех натуральных n > 1. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|