Задача 65751

Темы:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Голованов А.С.

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

Решение

  Предположим противное; тогда у каких-то четырёх циклов  (a_i, b_i, c_i)  суммы чисел одинаковы и равны некоторому s. Для каждого из этих циклов
s = a_i + b_i + c_i = a_i + f(a_i) + f(f(a_i)) = b_i + f(b_i) + f(f(b_i)) = c_i + f(c_i) + f(f(c_i)).
  Итак, все 12 чисел наших четырёх циклов – корни многочлена  g(x) = x + f(x) + f(f(x)) – s.  Однако все эти 12 чисел по условию различны, а степень многочлена g(x) равна 9; значит, у него не может быть больше девяти различных корней. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3